カブトムシ、クワガタは夏が終わると死んでしまうもの？

まずは日本国内に生息するものと、そうでないものという風に分けて考えましょう。
その次にカブトムシとクワガタを分けて考えます。

まず、国内に生息するカブトムシは、成虫になってからの寿命が約1.5ヶ月-2ヶ月と短く、大抵は気温が低くなる秋ごろには自然に死んでしまいます。
ですが飼育用品の発達、屋内の気密性の高さ（＝温度が変化しづらい）、交尾やケンカなどによるストレスの軽減などの諸条件を重ねることで、上手に飼育してあげれば何とか翌年のお正月を一緒に迎えることも出来ます。
そのためには、なるべく大きいケースで単独飼育（♂[オス]同士はもってのほか、♂･♀[メス]でも分けて飼育）をする、エサ（果物よりも昆虫用ゼリーのほうが良い）はたっぷりと与える、水分（霧吹きなど）を切らさない、気温が下がってきたら出来るだけ昼夜問わず暖かい部屋で飼育する、などの配慮が必要となります。

次に国内のクワガタですが、成虫となって活動（摂餌[せつえ]・交尾など）を始めてから冬を越えられる種と越えられない種の２通りがいます。

まず冬を越えられる種類ですが、オオクワガタ、コクワガタ、ヒラタクワガタなどの学名がDorcus[ドルクス]属に分類されるものがこれに該当します。

Dorcus属のクワガタは自然下でも、秋の中ごろには木のウロや樹皮の割れ目、朽木の中や土中に潜って越冬えっとうをするための準備に入ります。
このため飼育時にも、秋になったら成虫のケースに昆虫マットを多めに入れ、出来るだけ自然の温度変化に合わせるように飼育すると、クワガタたちは
『もうすぐ冬だ』
と察知して、あまりエサを食べなくなり、段々マットに潜ったまま地上に出てこなくなります。
エサの減り具合を良く見て、全然ゼリーが減らなくなったら越冬体制[えっとうたいせい]に入った合図です。
翌年の春までエサは必要なく、たまにケース内が乾燥しないよう霧吹きしてあげるだけでOKになります。

Dorcus属以外のクワガタは、残念ながら成虫として活動した後に、冬を越える能力を持ち合わせていません。
基本的には秋の中ごろくらいまでには死んでしまいますが、人工飼育下では翌年のお正月くらいまで生きて活動を続けた個体の報告も多々あることから、上記カブトムシ同様の飼育方法をしてあげることで長生きをさせることも可能です。
ただし例外として、これらのクワガタが越冬[えっとう]をする場合があります。
それは夏以降に蛹室内[ようしつない]で羽化[うか]したクワガタの成虫が、その年の夏には活動せずに蛹室[ようしつ]でじっとしていた時です。
この場合はそのまま蛹室内で冬を越し、晩春から初夏にかけて蛹室から脱出、野外活動を行います。